Форум » Логические выражения » (99<>y+2x)+(A<x)+(A<y)=1 » Ответить

(99<>y+2x)+(A<x)+(A<y)=1

erstaysa: Кто может подсказать решение.? (99<>y+2x)+(A<x)+(A<y)=1 Наибольшее А

Ответов - 21, стр: 1 2 All

polyakovss: Здравствуйте! Будем считать, что полное условие такое: "Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (99<>y+2x)+(A<x)+(A<y) истинно для любых целых положительных значений x и y". Решаем: Если (99<>y+2x)=1, то от А ничего не зависит, А - любое. Поэтому рассмотрим случай (99<>y+2x)=0, то есть (99=y+2x)=1. Поскольку (A<x)+(A<y) должно быть равно 1, максимальное А будет достигнуто при x=y. Из формулы 99=y+2x при y=x получаем x=33, y=33 (условия x>=1 и y>=1 учтены). Тогда Аmax=32 (учли, что (A<x), (A<y)). Ответ: 32

Поляков: polyakovss пишет: Поскольку (A<x)+(A<y) должно быть равно 1, максимальное А будет достигнуто при x=y. Как вы это обосновываете? Не интуитивно, а математически.

dbaxps: По-моему смысл в этом:- 1. Рассмотрим отрезок y+2x = 99 в первом квадранте Точка (33,33) принадлежит отрезку. Если х =< 33 , то y >= 33 Если у =< 33 , то х >= 33 Следовательно, для всех (х,у) принадлежащих отрезку :- ( 33=<x ) v ( 33=< y ) = 1 Для (х,у) в первом квадранте А = 32 ------------------------------------ Задача 1 ( С.С.Поляков) ------------------------------------ 2.Рассмотрим отрезок L={(x,y): 3x+5y=54} в первом квадранте Точка (8,6) принадлежит отрезку. Для всех (х,у) из L :- Если 2x+3 >= 19 тo 4y-5 =< 19 Если 4y-5 >= 19 то 2х+3 =< 19 Следовательно, для всех (х,у) принадлежащих отрезку L :- (19 =< 2x+3)v(19 =< 4y-5) = 1 Для (х,у) в первом квадранте А=18


legovan@yandex.ru: Добрый день. Подскажите, пожалуйста, учебную литературу (теория, практика) по этой теме. Хочется сложить полную картину, а не только знать как решать конкретное. Желательно для школьников. Спасибо

nikson: Поляков пишет: Как вы это обосновываете? Не интуитивно, а математически. Так как ложь в скобках (A<x)+(A<y) наступает при условии (A>=x) и (A>=y), то рассмотрим например скобку (A>=x). Пусть х будет любое число, например 5, тогда ложь в скобке (A<x) будет при А от 5; 6; и т.д. Нам надо учесть все Х, поэтому так как минимальное число х = 5, то критичная ситуация для этой скобки будет при А=х. Для второй скобки критично будет при А=у, отсюда х=у. Для таких типов примеров, которые были на этом егэ - это проходит. Частный ли случай это решение или нет, может показать только другое условие задачи.

Поляков: nikson пишет: критичная ситуация для этой скобки будет при А=х. Для второй скобки критично будет при А=у, отсюда х=у. Почему отсюда следует x = y?

polyakovss: Здравствуйте, Константин Юрьевич! Над математическим обоснованием решения ещё подумаю. У Вас это всегда получается лучше. Но метод вполне работоспособный. Вот несколько придуманных мною задач с решением по предложенному методу: Задача 1. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (54<>5y+3x)+(A<2x+3)+(A<4y-5) истинно для любых целых положительных значений x и y. Решение: ((A<2x+3)+(A<4y-5)=1) --> (2x+3=4y-5) --> x=2y-4 ((54=5y+3x)=1) --> ((54=5y+3x) и x=2y-4) --> y=6 и x=8 (A<2x+3), (A<4y-5), y=6 и x=8 --> Amax<19 Аmax=18 Ответ: 18 Задача 2. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (5x+2y<>51)+(A<x)+(A<3y) истинно для любых целых положительных значений x и y. Решение: (A<x)+(A<3y)=1 --> x=3y (5x+2y=51, x=3y) --> y=3, x=9 (A<x),(A<3y) --> Аmax<9 --> Amax=8 Ответ: 8 Задача 3. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (4x+2y<>100)+(A<9x)+(A<3y) истинно для любых целых положительных значений x и y. Решение: (A<9x)+(A<3y)=1 --> 9x=3y --> y=3x (4x+2y=100), y=3x --> x=10, y=30 (A<9x), (A<3y), x=10, y=30 --> Amax<90 --> Amax=89 Ответ: 89 Задача 4. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (y+2x<>77)+(A<5x)+(A<y) истинно для любых целых положительных значений x и y. Ответ: 54 Задача 5. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (7x+y<>498)+(A<x+18)+(A<6y-3) истинно для любых целых положительных значений x и y. Ответ: 86

nikson: polyakovss пишет: Над математическим обоснованием решения ещё подумаю. Мне вот какая пришла мысль: Выражение (y+2x<>77) ложно когда (y+2x=77), то есть все ложные точки лежат на этой прямой. Любая точка этой прямой имеет координаты х и у. Перемещаясь по этой прямой координаты будут меняться. В какой то момент х больше у, а в какой то наоборот. И только в одной точке х = у. Максимум для А будет при х = у. Это даже видно из разбора Полякова К.Ю. Он принял для решения А=50, а так как А для х и для у приняты 50, то на рисунке появился квадрат, что еще раз подтверждает, что х = у. Еще раз повторюсь - возможно это частный случай, но все задачи егэ, о которых вспомнили дети, этим способом решаются без проблем.

Поляков: nikson пишет: но все задачи егэ, о которых вспомнили дети, этим способом решаются без проблем. Тут ведь другой вопрос. Найти алгоритм решения и автоматически (=бездумно) его применять - это один уровень, это натаскивание. Понимать, почему алгоритм такой - другой уровень. Через плоскость все сразу видно. Да, все эти задачи так решаются, потому что прямоугольник (в частных случаях - квадрат) при увеличении касается прямой именно углом.

Поляков: polyakovss пишет: Но метод вполне работоспособный. Вот контрпример: найдите максимальное натуральное A, при котором для всех натуральных x и y выполняется условие (y - x <> 10) or (A < x) or (A < y).

dbaxps: Отрезка нет , в первом квадранте полупрямая. "Up side down" описанный в первом Re не будет работать (y=x не пересечет y= x+10 т.к. они параллельны). Во всех, приведенных примерах от первого квадранта прямые отсекают прямоугольный треугольник. Процедура "Up side down" :- Если для (х,у) на отрезке если х =< А, то у >= А и vice versa, при этом взять А1 больше А также невозможно.

polyakovss: Здравствуйте, Константин Юрьевич! Абсолютно с Вами согласен, что бездумно применять алгоритм решения - это натаскивание, это неприемлемо. Но ведь бездумно найти алгоритм решения тоже невозможно. И если алгоритм работает, значит, в нем содержится часть истины, выделить которую и призвана теория. Есть над чем думать. Если же ученик привык исходить только из устоявшейся теории, запомнив, что откуда следует, то это также будет элементом натаскивания, а так чаще всего и происходит из-за недостатка учебного времени. Да и способность человека решить успешно поставленную перед ним задачу, даже если он не знает теоретического обоснования ее решения, это - вполне востребованная способность. Но Вы правы: лучше понимать, почему алгоритм такой, применять его осмысленно. К этому и стремимся.

polyakovss: Здравствуйте, Константин Юрьевич! Ваш контрпример увидел. Сегодня отвечу обязательно, но попозже.

polyakovss: Здравствуйте, Константин Юрьевич! Отвечаю на Ваш контрпример. Законы, методы решения имеют область применимости. По умолчанию, при обсуждении здесь рассматриваемого метода решения областью его применения являлись те задачи, которые обсуждались. В этих задачах убывающая линейная функция ограничивала вместе с условиями x>=1 и y>=1 в 1 четверти прямоугольный треугольник. Моей недоработкой при обсуждении являлось то, что я специально это не оговаривал, считая, что это очевидно. Но я нигде и не писал, что метод универсален для всех видов подобных задач. Более того, описанный метод будет правильно работать только в том случае, если при его применении и для X, и для Y будут получаться целые значения. Иначе нужна небольшая модификация. В связи с этим Вам, Константин Юрьевич, я тоже предлагаю контрпример. В Вашей задаче № 310 абсолютно правильный ответ: 14. Поясните, пожалуйста, как этот ответ получить Вашим методом без его дополнительной доработки. В контрпримере, предложенном мне, возрастающая линейная функция никаких треугольников не ограничивает. Поэтому такие задачи решаются по-другому, и думаю, что могу обосновать этот метод решения. Вот контрпример: найдите максимальное натуральное A, при котором для всех натуральных x и y выполняется условие (y - x <> 10) or (A < x) or (A < y). Алгоритм решения: Случай 1. При условиях (A < x) и (A < y) в качестве Amax нужно выбрать (y-1), где y - значение полученное при подстановке x=1 в инвертированную формулу с неравенством, если при x=0 по этой формуле получается y>=0. (Это максимальное из x и y для первой точки при x>=1 и y>=1). В контрпримере как раз так: при x=0 из (y - x = 10) --> y=10. Подставляем в (y - x = 10) x=1 --> y=11--> Amax=11-1=10. Ответ:10. Обоснование для этого случая: Аmax на 1 меньше минимального значения Y в первой точке, принадлежащей прямой для возрастающей функции. При движении вдоль оси x до точки, принадлежащей прямой для возрастающей функции и после этой очки логические значения (A<x) и (A<y) чередуются, так что их логическая сумма будут в этом случае равна 1. В самой же точке, принадлежащей прямой, если это первая точка, все слагаемые формулы равны TRUE. Если же в качастве Amax взять y-1 для второй точки прямой возрастающей функции, то все слагаемые в формуле для предыдущей точки, принадлежащей прямой возрастающей функции будут равны FALSE. Если Amax взять как y-1 для третьей точки прямой, то все исходное выражение будет ложно в двух предудущих точках прямой возрастающей функции, то есть не для всех натуральных x и y формула будет истинна. Случай 2. При условиях (A < x) и (A < y) в качестве Amax нужно выбрать (x-1), где x - значение полученное при подстановке y=1 в инвертированню формулу с неравенством, если при x=0 по этой формуле получается y<0. (Это максимальное из x и y для первой точки при x>=1 и y>=1). Рассмотрим задачу: Задача 1. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (y – 2x + 29<>0) ∨ (A < x) ∨ (A < y) истинно для любых целых положительных значений x и y. При x=0 из (y – 2x + 29=0) --> y<0. Поэтому в (y – 2x + 29=0) подставляем y=1 --> x=15 --> Amax=14. Ответ: 14. Далее. Пусть задача такая: Задача 2. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (y – 2x + 29<>0) ∨ (A < 3x) ∨ (A < 15y+8) истинно для любых целых положительных значений x и y. Только что получили y=1 --> x=15. Amax= (max(3x,15y+8)-1) при подстановке y=1, x=15. Amax=max(45,23)-1=44. Ответ: 44. Задача 3. Если (y – 2x + 29<>0) ∨ (A < 2x) ∨ (A < 45y+8) =1 , то Amax=max(30,53)-1=52. Ответ: 52. Задача 4. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (3y – 4x <> 29) ∨ (A < 2x+8) ∨ (A < 2y-2) истинно для любых целых положительных значений x и y. Решение: x=1 --> y=11 -->2y-2=20 --> Amax=19. Ответ: 19. Задача 5. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (3y – 4x <> -81) ∨ (A < y*y*y+17) ∨ (A < 3x) истинно для любых целых положительных значений x и y. Решение: y=1 --> x=21 --> Amax= 63-1=62. Ответ: 62. Задача 6. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (3y – 4x <> 29) ∨ (A < 2*x*x+5) ∨ (A < y*y-1) истинно для любых целых положительных значений x и y. Решение: x=1 --> y=11 --> Amax= 120-1=119. Ответ: 119. Задача 7. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (21y – 5x <> -99) ∨ (A < 2x-7) ∨ (A < y*y+16) истинно для любых целых положительных значений x и y. Ответ: 40. Задача 8. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (17y – 13x <> 480) ∨ (A < (x+5)*(x+5)) ∨ (A < 19y) истинно для любых целых положительных значений x и y. Ответ: 550. Задача 9. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (y – x*x <> -80) ∨ (A < 13x-14) ∨ (A < y*y+15) истинно для любых целых положительных значений x и y. Ответ: 102. Задача 10. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение (y – x*x <> 80) ∨ (A < 13x-14) ∨ (A < y*y+15) истинно для любых целых положительных значений x и y. Ответ: 6575. P.S. Благодарю за публикацию моих задач.

Поляков: polyakovss пишет: В Вашей задаче № 310 абсолютно правильный ответ: 14. Поясните, пожалуйста, как этот ответ получить Вашим методом без его дополнительной доработки. Сергей Сергеевич, там опечатка. Должно быть (3*y < A). Конечно, я выбирал исходные данные так, чтобы уравнение решилось в целых числах. Мне кажется, что нужно разделить два вопроса: 1) как найти решение конкретных задач 2) как объяснять школьникам принцип решения Идея заучивать формулы для каждого случая мне не нравится. Если другого варианта нет, то, конечно, можно использовать.

polyakovss: Здравствуйте, Константин Юрьевич! Абсолютно в Вами согласен.

velmi: Почему нужно брать х и y >=1? По условиям задачи сказано, что они положительные (именно не НАТУРАЛЬНЫЕ!!!). Но ведь 0 - тоже положительное число! В разных задачах и в разных источниках ноль - то входит в число рассматриваемых точек, то не входит. На ответе это сказывается сильно. Как догадаться, что имел в виду автор?

Поляков: velmi пишет: Но ведь 0 - тоже положительное число! Приведите, пожалуйста, ссылку на источник информации.

Ефремова: Константин Юрьевич, добрый день! Помогите разобраться, пожалуйста, с задачей: Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение (3x + 4y ≠ 70) \/ (A > x) \/ (A > y) тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y? Решаю: 3х + 4у = 70 и x = у -> x = 10 A > x -> A = 11 Понимаю, что правильно, но проверяю: A > max (maxx, maxy), при (x > 0) and (y = (70 - 3x) / 4) and (y > 0) -> ymax при х = 1 -> ymax = 17, xmax при y = 1 -> xmax = 22 A > max(17, 22) -> Amin = 23 Где ошиблась?

Поляков: Ефремова пишет: A > max (maxx, maxy) Это достаточное условие, но не необходимое. Не нужно его проверять.

Ефремова: Поняла. Большое спасибо!



полная версия страницы