Форум » Логические выражения » вопрос по решению 18-ого задания » Ответить
вопрос по решению 18-ого задания
Eugeny1984: Доброго дня! В решении задачи, Что ниже мне кажется, что в конце ошибка. Напишите, пожалуйста, если я не прав. Задача 9. Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение (y + 2x < A) ∨ (3y + 2x > 123) ∨ (3y – x > 30) тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых положительных x и y? Решение. Выделим постоянную часть заданного выражения (3y + 2x > 123) ∨ (3y – x > 30) . Условия, определяющие особую область, получаются в результате инверсии этого выраже- ния с добавлением ограничений на положительность значений x и y: (3y + 2x ≤ 123) ∧ (3y – x ≤ 30) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1) . В другой форме (y ≤ – 2x/3 + 41) ∧ (y ≤ x/3 + 10) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1) . Эта область выделена фоном на Рис. 13. Рис. 13 0 30 40 x y 60 40 10 3 y = x + 20 10 20 41 3 y = − 2x + 0 5 4 x y 6 10 y = – 2x + A 2 12 Для всех точек особой области должна быть истинной изменяемая часть заданного выражения, то есть должно выполняться условие y + 2x < A . Это позволяет сформулировать задачу линейного программирования: A > max(y + 2x) при ограничениях (y ≤ – 2x/3 + 41) ∧ (y ≤ x/3 + 10) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1) . Как и в предыдущей задаче, воспользуемся графоаналитическим методом. Условие y + 2x < A можно переписать в виде y < – 2x + A. Это означает, что все точки особой области с целочисленными координатами должны находиться ниже прямой y = – 2x + A. Точка касания этой прямой и особой области определяется наклонами прямых. Поскольку угловой коэффициент «подвижной» прямой y = – 2x + A по модулю равен 2, а уг- ловой коэффициент прямой y = – 2x/3 + 41, образующей правую границу «особой области», по модулю меньше, чем 2 (он равен –2/3), касание произойдет в самой правой точке «особой области» при y = 1. Абсцисса этой точки находится подстановкой значения y = 1 в уравнение y = – 2x/3 + 41, что даёт x = 60 (Рис. 14). Рис. 14 Подставляя координаты точки (60, 1) в условие y + 2x < A, получаем A > 121, откуда следует Amin = 122. График функции здесь построен по ссылке https://yadi.sk/i/1iis10unemcELQ. Если мы берем точку 60,1, то одна не входит в заштрихованную область, что на рисунке. И тогда я считаю, что надо взять точку (59,1) - она войдет в область общую двух графиков. Подскажите, пожалуйста, где у меня ошибка?
Ответов - 2
polyakovss: Здравствуйте, Eugeny1984! Задача: Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение (y + 2x < A) ∨ (3y + 2x > 123) ∨ (3y – x > 30) тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых положительных x и y? Ответ: Аmin = 122. Вы пишете: Условия, определяющие особую область, получаются в результате инверсии этого выражения с добавлением ограничений на положительность значений x и y: (3y + 2x ≤ 123) ∧ (3y – x ≤ 30) ∧ (x ≥ 1) ∧ (y ≥ 1). Верно. Функция y + 2*x в этой области имеет максимальное значение 121 при x = 60 и y = 1. Следовательно, Amin = max (y + 2*x) + 1 = 122. Точка (60, 1) принадлежит этой области (проверяется подстановкой). Вы сами пишете: ... касание произойдет в самой правой точке «особой области» при y = 1. Посмотрите еще разбор задачи P-30 в ege10.doc: Р-30. Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение (y + 2x < A) ∨ (3y +2x > 120) ∨ (3y – x > 30) истинно для любых целых положительных значений x и y.
Eugeny1984: Спасибо, благодарю за объяснение, просто график построил не в масштабе и точка не попала. Сейчас перестроил и проверил и все хорошо.
полная версия страницы