Форум » Логические выражения » ege 18 №163 » Ответить
ege 18 №163
zvyagina: Добрый день! В № 163 обозначу P =(х&13= not 0) , Q = (x&39= not 0), A=(x&A = not 0). Выполню преобразования логического выражения: P*Q -> A*P = not(P*Q) + A*P = not P + not Q + A*P = not Q + not P + A =not(P*Q) + A = P*Q -> A Если P*Q =1 , то А =1, отсюда P=1, Q=1, A=1 13= 001101 39 =100111 Из того, что выражение х&13= not 0 истинно следует, что в числе Х среди битов с номерами 0, 2, 3 есть ненулевые. Из того, что выражение х&39= not 0 истинно следует, что в числе Х среди битов с номерами 0, 1, 2, 5 есть ненулевые. И какой вывод можно сделать относительно числа А? Я считаю, что эта задача не имеет решения.
Ответов - 26, стр:
1 2 All
Поляков: user123 пишет: у каких авторов еще встречаются разборы задач с использованием Ваших формул?Нет знаю, пока не видел. :-) существуют ли исключения, при которых Ваши формулы не работают? Если вы о моей статье, на которую я ссылаюсь, там чётко указано, когда эти формулы работают. на сколько можно быть уверенными, что на экзамене Ваши формулы сработают на 100%? Если будут выполняться условия их применимости (будет именно та ситуация, при которой они выведены), то они сработают. Если я, конечно, нигде не ошибся. :-) Но, как совершенно верно заметил предыдущий оратор, заучивать формулы в такой ситуации бессмысленно. Если задача немного изменится, они уже не подойдут. Так что это просто игра ума. Но тут есть и "сухой остаток" - наиболее интересно не то, какие формулы получились, а то, как они выводились. Если вы поймете и освоите методику, то сможете решить любую задачу.
Пушкина: Добрый день! В указанном задании все-таки наименьшее число 5. Коллеги! Может, стоит перерешать пример? Спасибо за помощь в нашем нелегком труде))). Буду рада любым комментариям.
mnk: У меня также получается ответ 5, а на ответ 13 никак не могу выйти. Предлагаю свои рассуждения. Где ошибка или почему идут разногласия? ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) 1310=0011012 3910=1001112 Проанализируем это выражение для каждого варианта значения бита x: 0.0. Нулевой бит x=0 X&13<>0 = 0 (0&001101) X&39<>0 = 0 (0&100111) X&A<>0 = 0 (0&??????) ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = 1 при любом значении нулевого бита A 0.1. Нулевой бит x=1 X&13<>0 = 1 (0&001101) X&39<>0 = 1 (0&100111) X&A<>0 = ? (0&??????) = значению бита A ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = значению бита A Вывод: нулевой бит A должен быть равен 1. 1.0. Первый бит x=0 X&13<>0 = 0 (0&001101) X&39<>0 = 0 (0&100111) X&A<>0 = 0 (0&??????) ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = 1 при любом значении первого бита A 1.1. Первый бит x=1 X&13<>0 = 0 (0&001101) X&39<>0 = 1 (0&100111) X&A<>0 = ? (0&??????) ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = 1 при любом значении первого бита A 2.0. Второй бит x=0 X&13<>0 = 0 (0&001101) X&39<>0 = 0 (0&100111) X&A<>0 = 0 (0&??????) ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = 1 при любом значении нулевого бита A 2.1. Второй бит x=1 X&13<>0 = 1 (0&001101) X&39<>0 = 1 (0&100111) X&A<>0 = ? (0&??????) = значению бита A ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = значению бита A Вывод: второй бит A должен быть равен 1. 3.0. Третий бит x=0 X&13<>0 = 0 (0&001101) X&39<>0 = 0 (0&100111) X&A<>0 = 0 (0&??????) ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = 1 при любом значении первого бита A 3.1. Третий бит x=1 X&13<>0 = 1 (0&001101) X&39<>0 = 0 (0&100111) X&A<>0 = ? (0&??????) ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = 1 при любом значении первого бита A И т.д. - остальные бесспорные. А спор идет по поводу третьего бита: ответ 5 или 13. (510=1012 или 1310=11012). Я также считаю, что значение третьего бита может быть 0 (для случая наименьшего значения). А если я не права, то в чем отличие этого третьего бита от первого бита? Там также могут быть два варианта для бита А 0 или 1.
Поляков: Пушкина пишет: В указанном задании все-таки наименьшее число 5. Контрпример - число 10. При выборе А=5 выражение ложно. Решение: 1. P = (X&13<>0), Q=(X&39<>0), A =(X&A<>0) 2. Выражение запишется в виде P*Q -> P*A 3. Упрощаем, преобразуем к виду Задачи 1: A + not P + not Q 4. Далее читаем тут про случай 3 Задачи 1. 5. Ответ: min(p,q) = 13.
mnk: Пусть x=1010=10102 A=510=1012 1310=0011012 3910=1001112 Возьмем исходное выражение ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) X&13=1010&1101=1000 X&13<>0 = 1000 X&39<>0=1010&100111=000010 X&39<>0 = 10 (X&13<>0) /\ (X&39<>0) = 1000 /\ 10 = 0 X&A<>0=1010&101=0 X&A<>0 = 0 (X&A<>0) /\ (X&13<>0) = 0 /\ 1000 = 0 ((X&13<>0) /\ (X&39<>0)) => ((X&A<>0) /\ (X&13<>0)) = (1000 /\ 10 ) => (0 /\1000) = 0 => 0 = 1 Ваше, преобразованное выражение (проверяем для x=1010=10102) P*Q -> P*A P = (X&13<>0) = 1010&1101 = 1000 Q = (X&39<>0) = 1010&100111 = 10 A = (X&A<>0) = 1010&101 = 0 P*Q -> P*A = (1000)*(10) -> (1000)*(101) = 0 -> 0 = 1 Вывод: Для x=10 при A=5 выражение истинно. В чем же ошибка моего решения? Я своим ученикам объясняю такие задачи через побитовое решение (составляем таблицу с вариантами значений битов x и вычисления с учетом этого значения выражения). Посмотрела презентацию Филлипова В.И. Там на слайдах 11 и 12 рассмотрена аналогичная задача ((((X&A<>0) /\ (X&12=0)) => ((X&A=0) /\ (X&21<>0))) \/ ((X&21=0) /\ (X&12=0))) с табличным методом решения, похожим на мой. И все было бы хорошо, вывод у нас был одинаковый: "Из таблицы истинности, что искомое число А должно содержать двоичный разряд на второй, третьей и четвертой позиции. Поэтому искомое минимальное число 14". Но на следующем слайде зачем-то делается: "Обратим внимание на наличие в выражении дополнительного слагаемого: ((X & 21 = 0) /\ (X & 12 = 0))" - и делается другой вывод: "Из таблицы истинности, видно , что искомое число А может не содержать содержать двоичный разряд на второй позиции, так как данное слагаемое всегда истинно, если число Х содержит первую степень 2", т.е. результат вместо 14 заменяется на 2. Почему? Это "дополнительное" слагаемое уже использовалось при преобразовании выражения...
Поляков: mnk пишет: P*Q -> P*A = (1000)*(10) -> (1000)*(101) = 0 -> 0 = 1 Что это за умножения битов? Откуда Вы это взяли? Вы же сами пишете:P = (X&13<>0) = 1010&1101 = 1000 Q = (X&39<>0) = 1010&100111 = 10 A = (X&A<>0) = 1010&101 = 0 то есть 1) P = 1 2) Q = 1 3) A = 0 Поэтому P*Q -> P*A = 1 -> 0 = 0. Вывод: Для x=10 при A=5 выражение истинно. Неверно.
mnk: Это разве не побитовые операции: P/\Q -> P/\A = ((1000)/\(10)) -> ((1000)/\(101)) = 0000 -> 0101 = 1111 ? Т.е. у меня проблема в понимании как в результате побитовой операции P = (X&13<>0) = 1010&1101 = 1000 получаем P=1.
Поляков: mnk пишет: Это разве не побитовые операции: P/\Q -> P/\A = ((1000)/\(10)) -> ((1000)/\(101)) = 0000 -> 0101 = 111 Ни в коем случае. Здесь P, Q, A - логические выражения, дальше просто идет логика. как в результате побитовой операции P = (X&13<>0) = 1010&1101 = 1000 получаем P=1. У Вас получилось, что X&13<>0, поэтому логическое значение P = (X&13<>0) = True.
mnk: Спасибо! Я и подозревала, что где-то я не так воспринимаю условие задачи. Будем теперь разбираться с учетом этого.
Пушкина: Спасибо большое за разъяснение! При х=10 действительно 5 не подходит.
oval: Все приведенные задачи сводятся к задачам двух типов: 1. Найти наименьшее множество А, такое что В(х) + (X & A <> 0)=1, для любого х. №150 (X & 56 <> 0) -> ((X & 48 = 0) -> (X & A <> 0)) упрощаем до (X & 56 = 0) + (X & 48 <> 0) + (X & A <> 0)=1 раскладываем 56 и 48 по степеням 2 (X & 48 <> 0) равносильно (X & 32 <> 0) + (X & 16 <> 0) (X & 56 = 0) равносильно (X & 32 = 0)*(X & 16 = 0)*(X & 8 = 0) (X & 32 <> 0) + (X & 16 <> 0) + (X & 32 = 0)*(X & 16 = 0)*(X & 8 = 0) + (X & A <> 0)=1 Если (X & 32 <> 0)=1 или (X & 16 <> 0)=1 , то сумма 1, и от А ничего не зависит Если (X & 32 <> 0)=0, то (X & 32 = 0)=1 Если (X & 16 <> 0)=0 , то (X & 16 = 0)=1 Получаем (X & 8 = 0) + (X & A <> 0)=1, в А должны входить биты, делающие первое слагаемое ложным, т.е. А = 8 №162 (X & 29 <> 0) -> ((X & 9 = 0) -> (X & A <> 0)) упрощаем (X & 29 = 0) + (X & 9 <> 0) + (X & A <> 0)=1 Переходим к степеням 2 (X & 8 <> 0) + (X & 1 <> 0) + (X & 16 = 0)*(X & 8 = 0)*(X & 4 = 0)*(X & 1 = 0) + (X & A <> 0)=1 Или(после рассуждений аналогичных №150) (X & 16 = 0)*(X & 4 = 0) + (X & A <> 0)=1, у А единицы в 4 и 2 битах, А = 16+4 = 20 №166 (((X & 13 <> 0) + (X & A = 0)) -> (X & 13 <> 0)) + (X & A <> 0) + (X & 39 = 0) (X & 13 <> 0) + (X & 39 = 0)+ (X & A <> 0)=1 (X & 8 <>0) + (X & 4 <>0) + (X & 1 <>0) + (X & 32 = 0)*(X & 4 = 0)*(X & 2 = 0)*(X & 1 = 0) + (X & A <> 0)=1 Или (X & 8 <> 0)+ (X & 32 = 0)*(X & 2 = 0) + (X & A <> 0)=1 Рассмотрим отдельно сумму (X & 8 <> 0)+(X & A <> 0)=1 При разложении А по степеням 2, (X & 8 <> 0)+...+ (X & 16 <> 0)+(X & 8 <> 0)+ (X & 4 <> 0)+(X & 2 <> 0)+ (X & 1 <> 0)=1 По правилу идемпотентности (X & 8 <> 0)+(X & A <> 0)= (X & A <> 0) В итоге (X & 32 = 0)*(X & 2 = 0) + (X & A <> 0)=1, у А единицы в 5 и 1 битах, А = 32+2 = 34 №163 ((X & 13 <> 0)*(X & 39 <>0)) -> ((X & A <> 0)*(X & 13 <>0)) (X & 13 = 0) + (X & 39 =0) + (X & A <> 0) =1 (X & 8 = 0)*(X & 4 = 0)*(X & 1 = 0) + (X & 32 =0)*(X & 4 = 0)*(X & 2 = 0)*(X & 1 = 0) + (X & A <> 0)=1 ((X & 8 = 0) + (X & 32 =0)*(X & 2= 0)) * (X & 4 = 0)*(X & 1 = 0) + (X & A <> 0) =1 1. у А в 0 и 2 битах единицы обязательны 2. обязательна единица в 3 или одновременно в 5 и 1 битах (если рассматривать их комбинации и возможные значения 0/1 для 4 бита, то получим все значения А, при которых исходное выражения истинно для любого х) Наименьшее А = 8+4+1 =13 Общее правило: В(х) включает в себя только конъюнкции вида: X & ... = 0. Если В(х) является произведением, то А - сумма соответствующих степеней 2. Если В(х) является суммой, то А наименьшая сумма соответствующих степеней 2 2. Найти наибольшее множество А, такое что В(х) + (X & A = 0)=1, для любого х. №159 (X & A <> 0) -> ((X & 14 = 0) -> (X & 75 <> 0)) или (X & A = 0) + (X & 14 <> 0) + (X & 75 <> 0)=1 (X & A = 0) + (X & 8<>0) + (X & 4<>0) + (X & 2<>0) + (X & 64<>0) + (X & 8<>0) + (X & 2<>0) + (X & 1<>0)=1 (X & A = 0) + (X & 64<>0) + (X & 8<>0) + (X & 4<>0) + (X & 2<>0) + (X & 1<>0)=1 A=64+8+4+2+1=79 №164 (((X & 13 <> 0) + (X & 39 = 0)) -> (X & 13 <>0)) + ((X & A = 0) * (X & 13 = 0)) или (X & A = 0) + (X & 13 <> 0) + (X & 39 <> 0)=1 (X & A=0)+(X & 8<>0)+(X & 4<>0)+(X & 1<>0)+(X & 32<>0)+(X & 4<>0)+(X & 2<>0)+(X & 1<>0)=1 (X & A=0)+(X & 32<>0)+(X & 8<>0)+(X & 4<>0)+(X & 2<>0)+(X & 1<>0)=1 А=32+8+4+2+1=47 №165 (((X & 13 <> 0) + (X & A <> 0)) -> (X & 13 <>0)) + ((X & A <> 0) * (X & 39 = 0)) или (X & A = 0) + (X & 13 <> 0) + (X & 39 = 0)=1 (X & A=0)+(X & 8<>0)+(X & 4<>0)+(X & 1<>0)+(X & 32=0)*(X & 4=0)*(X & 2=0)*(X & 1=0)=1 Необходимо найти наибольшее А, раскладываем А по степеням 2 и по правилу идемпотентности получаем: (X & 32=0)+...+(X & 32=0)*(X & 4=0)*(X & 2=0)*(X & 1=0) = (X & 32=0) * (1+(X & 4=0)*(X & 2=0)*(X & 1=0))+... Другими словами (X & A = 0) + (X & 39 = 0) = (X & A = 0) (X & A=0)+(X & 8<>0)+(X & 4<>0)+(X & 1<>0)=1 А=8+4+1=13 Общее правило: В(х) включает в себя только конъюнкции вида: X & ...<> 0, и А - сумма соответствующих степеней 2. решая подобным образом, мои дети стали меньше ошибаться в этом задании критика и комментарии приветствутся, в планах поэкспериментировать с заданиями 168-177 я использую запись (X & 8<>0) = (не 8) т.е. (8 и черта сверху) и (X & 39 = 0) - просто 39, соответственно А и (А и черта сверху), тогда нет такого изобилия скобочек и решение получается достаточно компактным
полная версия страницы