Форум » Логические выражения » Задача №18 » Ответить
Задача №18
Galina: Для какого наименьшего числа A формула (A⋅(x−2)<y)→((x−10)⋅(20−x)<y) тождественно истинна при любых неотрицательных числах x, y? Решение: А (мин) > мах(у/(х-2)) х(мин) =0, у(мах)=-200 А (мин) > мах(-200/-2) А (мин) >= 100 Ответ: НО 100 не подходит
Ответов - 7
Поляков: Galina пишет: НО 100 не подходит Избавимся от импликации(A->B = not A + B): (A*(x-2) >= y) + ((x-10)*(20-x) < y) Выясняем, где ложна часть, не зависящая от А: ((x-10)*(20-x) >= y) y <= - (x-10)*(x-20) Это область под параболой Там нужно обеспечить выполнение неравенства A*(x-2) >= y y <= A*(x-2) Это значит, что вся область под параболой должна находиться под прямой y = A*(x-2). Находим значение А, при котором эта прямая касается параболы A*(x-2) = - (x-10)*(x-20) x^2 + (A-30)*x + 200-2*A = 0 При касании дискриминант равен 0, поэтому (A-30)^2 -4*1*(200-2*A) = 0 A^2 - 52*A + 100 = 0 A = 2 или A = 50 Выбираем минимальное, A = 2. Оно подходит (не нужно уменьшать), поскольку неравенство y <= A*(x-2) нестрогое.
Galina: Спасибо
nikson: Можно решить это выражение на мой взгляд чуть проще - сделав следующие выводы: 1. Ложь в скобках ((x-10)*(20-x) < y) будет при: ((x-10)*(20-x) >= y) 2. ((x-10)*(20-x) >= y) - это парабола с ветвями вниз. Все точки, которые на параболе и под ней приводят выражение ((x-10)*(20-x) < y) в ЛОЖЬ. 3. Найдем вершину параболы, добившись, чтобы выражение в каждой скобке было = 0. В первой скобке это будет при х = 10, во второй при х = 20. Тогда (10+20)/2 = 15. Вершиша = х = 15. 4. Найдем координату У вершины, подставив в ((x-10)*(20-x) = y. Тогда ((15-10)*(20-15) = y = 25 5. Надо найти наименьшее число A, которое при любых неотрицательных числах x, y приведет выражение к Истине. Другими словами А > самых больших значений х и Y. Максимальные значения в вершине. 6. Подставим их в A*(x-2) >= y, предварительно упростив для наглядности: А>= Y / ((х-2), тогда А >= 25/13 = 1,92 7. Ответ 2.
cabanov.alexey: Другими словами А > самых больших значений х и Y. Вот тут ой не факт. там отношение у/(х-2), а его максимум будет отнюдь не в вершине параболы. По факту наибольшее значение будет в точке (14; 24)
nikson: cabanov.alexey пишет: По факту наибольшее значение будет в точке (14; 24) Мне кажется это не верно, так как вершина (15; 25), что даже визуально по значениям больше ваших (14; 24) "А" должно быть >= максимальных Х и Y, а не значения функции.
dbaxps: Сегмент окружности в полосе межу (y=x+2 и y=x-2 ) и пучок прямых с центром (-3,-3) Решения "a" принадлежит (0;2/3] объединить {2} объединить {1+(3/2)^(1/2)} Последнее значение есть угловой коэффициент касательной к дуге окружности внутри полосы. Проще всего использовать нормальную форму прямых в пучке, подставляя координаты центра дуги получаем радиус. ( значение по модулю )
cabanov.alexey: Мне кажется это не верно, так как вершина (15; 25), что даже визуально по значениям больше ваших (14; 24) Рассматриваем значения A⩾y/(x-2) В вершине параболы (15; 25) значение будет равно 25/(15-2)≈1,92 В точке (14; 24) значение будет равно 24/(14-2)=2 - наибольшее значение
полная версия страницы