Форум » Логические уравнения » [B15] Система логических уравнений » Ответить

[B15] Система логических уравнений

ИНФоМАТ: Дана система a или ¬b или ¬c и d=1 c или ¬d или ¬e и f=1 e или ¬f или ¬g и h=1 g или ¬h или¬i и j=1 Сколько решений имеет система? У меня получается ответ 351решение. Рассуждаю так : для первого уравнения получается 13 решений, при добавлении второго _39, третьего - 117, четвертого-351. А в ответе получается 364.

Ответов - 55, стр: 1 2 3 4 All

PavelG: Изучаю ваши материалы и никак не могу понять как делать переход от введённых переменных к исходным. В третьем примере(из разобранных) для системы с заменой получается 6 решений. Далее идут след. рассуждения: У нас есть 5 переменных Y1 … Y5, каждая их комбинация дает 2 пары (X1;X2), 2 пары (X3;X4), 2 пары (X5;X6), 2 пары (X7;X8) и 2 пары (X9;X10), то есть всего 2^5 = 32 комбинации исходных переменных. Таким образом, общее количество решений равно 6*32 = 192. Почему 2^5 даёт нам комбинации исходных переменных, а умножение полученного значения на 6-количество решений? Если это возможно, то разъяснить пожалуйста поподробнее для человека, который не знает,как находить кол-во возможных вариантов.

Поляков: PavelG пишет: Почему 2^5 даёт нам комбинации исходных переменных, а умножение полученного значения на 6-количество решений? По пунктам: 1) выше (в файле B15.doc) было получено, что после замены переменных система уравнений имеет 6 решений 2) выберем какое-нибудь из этих 6 решений, то есть какие-то значения Y1...Y5, удовлетворяющие системе уравнений 3) пусть Y1=0; вспомним, что Y1=(X1=X2)=0 => X1<>X2; этому условию соответствуют 2 пары (X1,X2) - это (0,1) и (1,0) 4) пусть теперь Y1=1; аналогично находим, что есть две пары (X1,X2), удовлетворяющие этому условию - (0,0) и (1,1) 5) из пп. 3 и 4 следует, что при любому значению Y1 соответствует 2 пары (X1,X2) 6) переменные Y1..Y5 независимы, то есть, X1 и X2 входят только в Y1; X3 и X4 входят только в Y2 и т.д. 7) из п. 6 - любому решению Y1..Y5 соответствует 2 пары (X1;X2), 2 пары (X3;X4), 2 пары (X5;X6), 2 пары (X7;X8) и 2 пары (X9;X10), всего получается 2^5 = 32 комбинаций исходных переменных 8) всего решений уравнения (после замены) - 6 штук, для каждого из них существует 32 комбинации исходных переменных, поэтому общее число решений - 6*32=192. Если что-то неясно, пишите, какой пункт непонятен.

PavelG: Спасибо за такой подробный ликбез. Пункты 1-6 были понятны ещё из файла B15, а вот над пп. 7 и 8 до сих пор ломаю голову. Непонятно само правило нахождения кол-ва возможных вариантов и откуда оно берётся(не только в этом типе задач). Можно ли как-то этот момент пояснить ещё более подробно(возможно как для для школьников, которые впервые знакомятся с логикой)? Или есть ли литература, в которой тщательно рассматривается данный вопрос?


Поляков: PavelG пишет: над пп. 7 и 8 до сих пор ломаю голову. п. 7. Представим себе, что есть только две переменных, Y1=(X1=X2) и Y2=(X3=X4). Из п. 5 следует, что любому значению Y1 соответствует 2 пары (X1,X2), при этом X3 и X4 могут быть любыми. Если Y2 никак не ограничено, то для каждой из 2-х пар (X1,X2) существует 4 пары (X3,X4): (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1), и общее количество комбинаций (X1,X2,X3,X4) равно 2*4=8. Но Y2 тоже имеет какое-то известное значение, причем, так же, как и для Y1, при любом заданном значении Y2 существует только 2 (а не 4!) допустимых комбинации (X3,X4), так что общее количество комбинаций (X1,X2,X3,X4) равно 2*2=4. Аналогично при известных значениях переменных Y1, Y2 и Y3 получаем 2*2*2=8 допустимых комбинаций (X1..X6), а для заданных Y1..Y5 - 2*2*2*2*2=32 комбинации X1..X10. п. 8 Тут совсем просто. Есть 6 решений Y1..Y5. Для каждого из них (см. п. 7) есть 32 разных комбинации исходных переменных X1..X10. Все они разные. Поэтому всего их 6*32=192.Или есть ли литература, в которой тщательно рассматривается данный вопрос?Это комбинаторика. Посмотрите файл A7k.doc в материалах для подготовки к ЕГЭ-2011 или любую книжку для школьников по этой теме.

tavabar: PavelG пишет: над пп. 7 и 8 до сих пор ломаю голову. Рискну вмешаться в ваш диалог. Пусть, например, после замены переменных найдено 3 решения (У1,У2, У3,У4). Допустим, одно из решений выглядит так: (0,0,1,0). (Есть еще два каких-то сочетания). В выбранном решении на первом месте 0, то есть уравнение У1=0 . Ясно, что вместо У1 можно поставить только ноль. Вспоминаем, что У1=(Х1=Х2). Значит, (Х1=Х2)=0. Это может быть только набор (0,1) или (1,0) (на первом месте значение Х1, на втором Х2). Итог: уравнение У1=0 имеет ДВА ВАРИАНТА решения в исходных обозначениях. Подключая следующую переменную У2=(Х3=Х4)=0 мы получаем, что по аналогии У2=0 имеет ДВА ВАРИАНТА решения: набор (0,1) или (1, 0) (на первом месте значение Х3, на втором Х4). После подключения У2 можно сформировать наборы (Х1,Х2,Х3,Х4) , удовлетворяющие уравнению, различными способами. (0,1,0,1), (0,1,1,0), (1,0,1,0) и (1,0,0,1). Итог: при подключении второй переменной КАЖДОМУ варианту решения первого уравнения (их 2) подписывается КАЖДЫЙ вариант решения второго уравнения (их 2). Т.о. всего решений, удовлетворяющих системе 4 (они перечислены выше). Ясно, что при подключении У3=(Х5=Х6)=1 надо к каждому предыдущему решению «подцепить» оба варианта (0,0) и (1,1) (на первом месте значение Х5, на втором Х6). Т.е КАЖДОЕ из 4-х решений «раздваивается»: (0,1,0,1,0,0), (0,1,1,0,0,0), (1,0,1,0,0,0) (1,0,0,1,0,0) (0,1,0,1,1,1), (0,1,1,0,1,1), (1,0,1,0,1,1) (1,0,0,1,1,1) И их становится 8. После подключения У4 «раздвоится» каждое из 8, и т.д. Значит, если одно решение состоит из 4 переменных, то в исходных переменных оно соответствует 16 вариантам. Можно сразу сказать, что число вариантов решений в исходных обозначениях вычисляется по формуле 2^n, где n – КОЛИЧЕСТВО переменных в решении. Теперь вспоминаем, что мы нашли 3 решения и у каждого 16 вариантов. Значит, всего 16*3=48 вариантов решений.

PavelG: Большое спасибо, наконец понял. Более подробно объяснить,наверное, просто невозможно.

Светлана: Доброго времени суток, всем!!! Дана система a -> b или c и ¬d=1 c -> d или e и ¬f=1 e ->f или g и ¬h=1 g ->h или i и ¬j=1 i -> j или a и ¬ b =1 Сколько решений имеет система? Я понимаю, что похожа на систему в начале разговора, но что делать с (a и ¬ b), как его из наборов вытащить?

Поляков: Светлана пишет: Я понимаю, что похожа на систему в начале разговора, но что делать с (a и ¬ b), как его из наборов вытащить? Пожалуйста сформулируйте вопрос внятно.

Светлана: Константин Юрьевич, извините за сумбурный вопрос! Дана система: a -> b или c и ¬d=1 c -> d или e и ¬f=1 e ->f или g и ¬h=1 g ->h или i и ¬j=1 i -> j или a и ¬ b =1 Если решать ее до 4 выражения, как рассматривали выше, получается 364 набора. Затем в пятом выражении первое слагаемое (i -> j) - это инверсия для второго слагаемого в четвертом выражении и второе слагаемое (a и ¬ b) - инверсия для первого слагаемого в первом выражении. Как их исключить из общего набора решений. Все равно сумбурно!! Видимо логика не мое:((

Поляков: Светлана пишет: Затем в пятом выражении первое слагаемое (i -> j) - это инверсия для второго слагаемого в четвертом выражении и второе слагаемое (a и ¬ b) - инверсия для первого слагаемого в первом выражении. Понятно. К системе уравнений, с которой начался топик, добавили еще «замыкание»: [pre2]i -> j или a и ¬ b =1 [/pre2]На мой взгляд, тут проще всего применить подход с заменой переменных (см. ответ PVV). В данном случае он выглядит так:Обозначим в вашей системе k=not(a)+b, l=not(c)+d, m=not(e)+f, n=not(g)+h, o=not(i)+j. (+ соответствует дизъюнкции). Тогда система уравнений может быть записана так:[pre2] k + not(l) = 1; l + not(m) = 1; m + not(n) = 1; n + not(o) = 1; o + not(k) = 1.[/pre2]Указанная система уравнений с 5 переменными имеет ровно 2 различных решения: (0;0;0;0;0) и (1;1;1;1;1). Так как переменные k, l, m, n, o независимы и каждая из них принимает значение 0 в одном случае, а значение 1 - в трех случаях, то получаем, что первое решение полученной системы дает одно решение исходной системы, второе - 243. Сумма этих чисел равна 244.

Светлана: Спасибо, Константин Юрьевич!!!

PavelG: Здравствуйте,Константин. У вас в файле, который посвящен заданию В15(и в др. тоже), представлено множество различных типов заданий. Какова вероятность встретить на ЕГЭ каждый из приведённых типов, или в этом году буду представлены только системы? А также насколько велика возможность сюрпризов и насколько нынешний демо вариант отражает структуру будущего экзамена (например, по словам моего учитель, системы в прошлом году были даны без предупреждения). Заранее спасибо за прояснение ситуации.

Поляков: PavelG пишет: У вас в файле, который посвящен заданию В15(и в др. тоже), представлено множество различных типов заданий. Какова вероятность встретить на ЕГЭ каждый из приведённых типов, или в этом году буду представлены только системы? А также насколько велика возможность сюрпризов и насколько нынешний демо вариант отражает структуру будущего экзамена (например, по словам моего учитель, системы в прошлом году были даны без предупреждения). Официальная информация - это интервью с М.А. Ройтбергом, он в конце объясняет, что задания демо-варианта не обязаны совпадать с "боевыми" задачами. То, что реальное задание в В15 будет отличаться от демо-варианта - практически 100%. Это традиция :-). Возможно, будет одно уравнение, а не система. Кто знает подробнее - ничего не расскажет, потому что связан подпиской о неразглашении. Поэтому решайте разные задачи, тренируйтесь. Нужно быть готовым ко всему. :-)

Абитуриент: Константин Юрьевич! Простите, но нельзя ли подробнее объяснить эту фразу из Вашего ответа от 18 февраля на этой ветке форума: ЦИТАТА: "Так как переменные k, l, m, n, o независимы и каждая из них принимает значение 0 в одном случае, а значение 1 - в трех случаях". 0 в каком случае, значение 1 в трех каких случаях? С уважением, Абитуриент

Поляков: Абитуриент пишет: "Так как переменные k, l, m, n, o независимы и каждая из них принимает значение 0 в одном случае, а значение 1 - в трех случаях". 0 в каком случае, значение 1 в трех каких случаях? Вспомним, что k=not(a)+b. Поэтому k=0 при (a,b)=(1,0) и k=1 при (0,0), (0,1) и (1,1).



полная версия страницы